경우의 수 by wikipedia

Posted 2009.09.28 14:15

순열(順列)은 서로 다른 n 개의 원소 중에서 r 개(n \geq r)를 뽑아서 한 줄로 세우는 경우의 수이다.

nPr, 혹은 P(n,r) 라고 쓴다. 이 기호는 순열을 나타내는 permutation의 앞글자를 딴 것이다.

P(n,r)은 다음과 같이 정의된다.

P(n,r) = n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)

계승을 이용하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}


중복순열(重複順列) nΠr은 n 개의 서로 다른 원소 중에서 중복을 허용하여 r개를 뽑아서 한 줄로 나열하는 경우의 수이다. r 개를 선택하는 경우, 최초에 n 개를 선택할 수 있고 이후에도 계속 n 개를 선택할 수 있기 때문에 이 순열의 개수는 nr임을 알 수 있다.

예를 들어, 1부터 4까지의 자연수 4개를 이용하여 만들 수 있는 세자리 수는 모두 43 = 64 가지가 있다.


원순열은 순열을 회전시킬수 있어 중복되는 요소가 있는 순열이다. n!에서 n을 나눠서 계산한다.


조합(Combination)은 집합에서 일부 원소를 취해 부분집합을 만드는 것을 말한다. n 개의 원소를 가지는 집합에서 k개의 부분집합을 고르는 조합의 경우의 수는 이항계수라 하며, nCk나 nCk, C(nk), 또는

{n \choose k}로 나타낸다. C는 콤비네이션이라고 읽기도 한다.(예: 5C3은 "5 콤비네이션 3")

nCk의 값은

 {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}이다.


중복조합 (重複組合, combination with repetition) nHr은 서로 다른 n 개의 원소에서 r 개를 뽑는 경우의 수이다. nHr = n+r-1Cr 이다.

예를 들어, 세개의 문자 A,B,C에서 중복을 허용하여 5개를 뽑는 경우의 수는 3H5 = 7C5 = 21이므로 21가지가 된다




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